TEORIAS DE INVENTARIOS 

NVENTARIOS 

Un inventario es un recurso empleado pero útil que posee valor económico. El problema se plantea cuando una empresa expendedora o productora de bienes y servicios no produce en un momento determinado la cantidad suficiente para satisfacer la demanda, por lo que debe realizar un almacenamiento protector contra posibles inexistencias.

El objetivo radica en definir el nivel de inventario. Estas decisiones consisten en dar normas que nos precisen en que instante se deben efectuar los pedidos del producto considerado y la cantidad que se debe pedir.

En términos generales un inventario es un conjunto de recursos útiles que se encuentran ociosos en algún momento. El objetivo de los problemas de inventario es minimizar los costes (totales o esperados) del sistema sujetos a la restricción de satisfacer la demanda (conocida o aleatoria). Entre los diferentes costes que puede haber en un problema de inventario están:

1.- Costes de fabricación.
2.- Costes de mantenimiento o almacenamiento.
3.- Costes de penalización o rotura por no satisfacer la demanda.
4.- Rendimientos o ingresos. (Puede o no incluirse en el modelo).
5.- Costes de recuperación o salvamento. (El valor de recuperación representa el valor de desecho del artículo para la empresa, quizá a través de una venta con descuento).
6.- Tasa de descuento. La tasa de descuento toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo. Cuando una empresa compromete capital en inventarios, no puede usar este dinero para otros fines. 

Referencia: Investigación de operaciones HANDY TAHA

¿PORQUE TENER INVENTARIOS?

Se da la existencia de inventarios debido a que los proveedores que abastecen los insumos a las empresas no pueden dar respuesta inmediata a los requerimientos de esta; puesto que hay una diferencia entre el tiempo de abastecimiento y la demanda interna. Es por esta razón que las empresas mantiene inventarios como colchón de seguridad o un STOCK para que al momento de una necesidad se satisfaga la demanda. 

INVENTARIO SEGÚN LA DEMANDA

Existen dos tipos de demanda:
*Demanda probabilística: demanda de un artículo que está sujeta a una cantidad significativa de variabilidad. Ejemplo en un hospital no se sabe cuántos y que tipos de pacientes entraran en la semana que entra, lo que ocasiona una demanda incierta de los suministros médicos. (Demanda independiente: dos o más artículos en los que la demanda de un artículo no afecta la demanda cualquiera de los otros artículos).

*Demanda determinìstica: demanda de un artículo que se conoce con certeza. Ejemplo en un proceso de fabricación automatizada, sabe que una maquina inserta 20 chips por minuto en un tablero de circuitos integrados, por lo tanto los chips son los artículos a mantenerse en el inventario y la demanda determinìstica es 20 chips por minuto. (Demanda dependiente: dos o más artículos en los que la demanda de un artículo determina o afecta la demanda de uno o más de los otros artículos). 

REGLAS O PRINCIPIOS 

1) Todo ítem debe estar debidamente codificado y localizado
2) Todo movimiento de inventario ya sea de entrada, de salida o consolidad de datos deben estar documentados (firmados y autorizados)
3) Los documentos de entrada deben diferenciarse de los documentos de salida (se utilizan colores)
4) En cuanto sea posible, el lugar físico de entrada debe ser diferente al lugar físico locativo de salida
5) Los ítem de un mismo código deben estar almacenados en un mismo lugar
6) Si es posible se debe marcar lo contado e inventariado
7) En una auditoria todo ítem debe ser contado tres veces por personas diferentes, consignándolos en tarjetas diferentes y estableciendo las siguientes reglas de registro:
8) Los ítems de mayor peso deben ubicarse en los niveles inferiores y los de menor peso en los niveles superiores
9) Los ítems que tuvieron movimientos en el día deben verificarse sus saldos antes de cerrar el día, es decir verificar la existencia física con la existencia lógica.
10) Nadie del personal de inventario se va antes que no esté cuadrado el movimiento de los ítems de ese día
11) No se debe recibir premios o comisiones de los proveedores
12) Los recortes de inventario máximo son de tres días, después de finalizado el mes deben estar los informes

MODELOS CLÁSICO DE CONTROL DE INVENTARIOS

Los modelos de control de inventarios los podemos clasificar en:

1. MODELO EOQ (cantidad económica de producción)

Es una técnica de administración de inventarios para determinar el tamaño optimo de pedido de un articulo; este modelo considera varios costos de inventario y luego determina que tamaño de pedido minimiza el costo total del inventario. Los costos que se determinan son el costo de mantener inventario y el costo de pedir. el modelo se clasifica en: 

1.1 Modelo EOQ sin faltantes

supuestos: 

*Demanda conocida y constante. 

*Tiempo de reposición son instantáneos 

*Existencia de dos costos: Costo de pedir y Costo de mantenimiento del inventario 

*No se admiten faltantes 

*Los costos no varían en el tiempo 

*Relación directa costo - volumen

1.2 Modelo EOQ con faltantes

supuestos:

*Demanda conocida y constante. 

*Tiempo de reposición son instantáneos 

*Se aceptan faltantes

*Existencia de tres costos: Costo de pedir, Costo de mantenimiento del inventario y Costo de faltante

*No se admiten faltantes 

*Los costos no varían en el tiempo 

*Relación directa costo - volumen

1.3 Modelo EOQ con descuentos por cantidad
Este modelo es idéntico al modelo EOQ anterior, excepto que el articulo en el inventario se puede comprar con un descuento si el volumen de pedido excede un limite dado, es decir el precio de compra por unidad.

EJERCICIO

Un proveedor le ofrece la siguiente tabla de descuento para la adquisición de su principal producto, cuya demanda anual usted ha estimado en 5.000 unidades. El costo de emitir una orden de pedido es de $49 y adicionalmente se ha estimado que el costo anual de almacenar una unidad en inventario es un 20% del costo de adquisición del producto. ¿Cuál es la cantidad de la orden que minimiza el costo total del inventario?.

Tamaño del Lote (Unidades)	Descuento (%)	Valor del Producto ($/Unidad)
0 a 999	0%	5
1.000 a 1999	4%	4,8
2.000 o más	5%	4,75

Para dar respuesta a esta situación se propone seguir los siguientes pasos:

PASO 1: Determinar el tamaño óptimo de pedido (Q*) para cada nivel o quiebre de 

precios.   

PASO 2: Ajustar la cantidad a pedir en cada quiebre de precio en caso de ser necesario. En nuestro ejemplo para el tramo 1 Q(1)=700 unidades esta en el intervalo por tanto se mantiene; para el tramo 2 Q(2)=714 está por debajo de la cota inferior del intervalo, por tanto se aproxima a esta cota quedando Q(2)=1.000; finalmente en el tramo 3 Q(3)=718 que también está por debajo de la cota inferior del intervalo, por tanto se aproxima a esta cota quedando Q(3)=2.000

PASO 3: Calcular el costo asociado a cada una de las cantidades determinadas (utilizando la fórmula de costo total presentada anteriormente)

Costo Tramo 1 = C(700)=$25.700

Costo Tramo 2 = C(1.000)=$24.725

Costo Tramo 3 = C(2.000)=$24.822

Se concluye que el tamaño óptimo de pedido que minimiza los costos totales es 1.000 unidades, con un costo total anual de $24.725.

2. MODELO LEP (lote económico de producción)
Este modelo de inventario sugiere que se la empresa lleve a cabo operaciones hasta llegar a un nivel máximo de producción (Inventario máximo), despues de esto se dispone a detener la producción hasta agotar las existencias, y luego que esto suceda deben volver a empezar el proceso de producción.

Este modelo se clasifica en: 

2.1 Modelo LEP sin faltantes

2.2Modelo LEP con faltantes

3. MODELO PROBABILISTICO (EOQ con demanda variable)

Este modelo permite faltantes en la demanda, la política requiere ordenar la cantidad y siempre que el inventario caiga al nivel R. Como en el caso determinista, el nivel de reorden R es una función del tiempo de entrega, entre colocar y recibir un pedido. Los valores óptimos de R, se determinan minimizando el costo esperado por unidad de tiempo que incluye la suma de los costos de preparación, conservación y faltante.

El modelo tiene 3 suposiciones
*la demanda no satisfecha durante el tiempo de entrega se acumula.
 *no se permite mas de una orden pendiente.

*la distribución de la demanda durante el tiempo de entrega permanece estacionaria (sin cambio) con el tiempo.

Definición de déficit

Resultado negativo que se produce al comparar los egresos con los ingresos de un ente económico.

La diferencia que resulta de comparar el activo y el pasivo de una entidad, cuando el importe del último es superior al del primero, es decir cuando el capital contable es negativo. Saldo negativo que se produce cuando los egresos son mayores a los ingresos. En contabilidad representa el exceso de pasivo sobre activo. Cuando se refiere al déficit público se habla del exceso de gasto gubernamental sobre sus ingresos; cuando se trata de déficit comercial de la balanza de pagos se relaciona el exceso de importaciones sobre las exportaciones.

m. Comercio. Faltante que resulta comparando el haber con el capital puesto en la empresa.  En la administración pública, parte que falta para levantar las cargas del Estado.  No sufre variación en plural. Lote Económico sin Deficit La diferencia del lote económico sin Deficit es que la ecuación de lote económico Q* para el modelo costo de faltantes debido a ventas perdidas aumentan has cierto valor, el radical que determina Q* se vuelve negativo. Esto lo que indica es que cuando el costo por faltantes por conceptos de ventas perdidas es muy grande, el cual no es muy conveniente trabajar con la política de pedidos pendientes. Un ejemplo de esto seria el estudio de inventarios con producción. Los supuestos para este modelo son las siguientes: ·           La demanda se efectúa a tasa constante. ·         El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es finita). ·         Todos los coeficientes de costos son constantes. ·         La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda. En la siguiente figura se ilustra esquemáticamente este modelo. Q = Cantidad optima a pedir S = Cantidad de unidades agotadas Im = Inventario Máximo t = Periodo entre tandas de producción T = Periodo de Planeación t1 t4= Tiempo de manufacturación t2 t3= Tiempo de consumo de las unidades producidas. El objetivo consiste en determinar con qué frecuencia y en qué cantidad se debe reabastecer el inventario de manera que se minimice la suma de estos costos por unidad de tiempo. En el Lote económico sin Déficit el inventario se puede reabastecer cuando el nivel baje lo suficiente, pero para ello se supondrá primero que no se admiten faltantes, con la tasa de demanda fija, se puede evitar los faltantes al reabastecer el inventario cada vez que el nivel baje a cero. Lote economico con Deficict.  Los supuestos para este modelo son las  La demanda se efectúa a tasa constante. §  El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es finita). §  Todos los coeficientes de costos son constantes. §  La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda Q = Cantidad optima a pedir S = Cantidad de unidades agotadas Im = Inventario Máximo t = Periodo entre tandas de producción T = Periodo de Planeación t1 t4= Tiempo de manufacturación t2 t3= Tiempo de consumo de las unidades producidas.

 Tipos De Problemas De Programacion No Lineal 

Los problemas de programación no lineal se presentan de muchas formas distintas. Al con­trario del método símplex para programación lineal, no se dispone de un algoritmo que re­suelva todos estos tipos especiales de problemas. En su lugar, se han desarrollado algoritmos para algunas clases (tipos especiales) de problemas de programación no lineal. Se introduci­rán las clases más importantes y después se describirá cómo se pueden resolver algunos de es­tos problemas.

Si la función objetivo f es lineal y el espacio restringido es un politopo, el problema es de Programación lineal y puede resolverse utilizando alguno de los bien conocidos algoritmos de programación lineal.   

Si la función objetivo es cóncava (problema de maximización), o convexa (problema de minimización) y el conjunto de restricciones es convexo, entonces se puede utilizar el método general de Optimización convexa   

Existe una variedad de métodos para resolver problemas no convexos. Uno de ellos consiste en utilizar formulaciones especiales de problemas de programación lineal. Otro método implica el uso de técnicas de Ramificación y poda, cuando el problema se divide en subdivisiones a resolver mediante aproximaciones que forman un límite inferior del coste total en cada subdivisión. Mediante subdivisiones sucesivas, se obtendrá una solución cuyo coste es igual o inferior que el mejor límite inferior obtenido por alguna de las soluciones aproximadas. Esta solución es óptima, aunque posiblemente no sea única. El algoritmo puede ser parado antes, con la garantía de que la mejor solución será mejor que la solución encontrada en un porcentaje acotado. Ello se utiliza en concreto en problemas importantes y especialmente difíciles y cuando el problema cuenta con costes inciertos o valores donde la incertidumbre puede ser estimada en un grado de fiabilidad apropiado.   

Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker proporcionan las condiciones necesarias para que una solución sea óptima.   

 

Los tipos de  problemas de programación no lineal son:

1.       Optimización no restringida.
2.       Optimización linealmente restringida.
3.       Programación cuadrática
4.       Programación convexa.
5.       Programación separable.
6.       Programación no convexa.
7.       Programación geométrica.
8.       Programación fraccional.
9.       Problema de complementariedad.

  

ALGORITMOS SIN RESTRICCIÓN

En esta sección se presentarán dos algoritmos para el problema no restringido: el algoritmo de búsqueda directa y el algoritmo degradiente.  

   

 Método de búsqueda directa  

Los métodos de búsqueda directa se aplican principalmente a funciones estrictamente unimo- dales de una variable. Aunque puede parecer trivial el caso, la sección 21.1.2 muestra que la optimización de funciones de una variable juega un papel clave en el desarrollo de los algorit­mos de varias variables, más generales.  

La idea de los métodos de búsqueda directa es identificar el intervalo de incertidum- bre que comprenda al punto de solución óptima. El procedimiento localiza el óptimo estre­chando en forma progresiva el intervalo de incertidumbre hasta cualquier grado de exactitud que se desee.  

En esta sección se presentan dos algoritmos estrechamente relacionados: los métodos de búsqueda dicótomo y de sección dorada (o áurea). Ambos buscan la maximización de una fun­ción unimodal/(x) en el intervalo a ^ x < b, que se sabe que incluye el punto óptimox*. Los dos métodos comienzan con /₀ = (a, b) que representa el intervalo inicial de incertidumbre.  

Paso general i. Sea /, _ , = (x_D x_R) el intervalo actual de incertidumbre (en la iteración 0, x_L = a y x_R = b). A continuación se definen x_x yx₂ tales que  

xj^ ^ ^ x₂ ^ x_r  

El siguiente intervalo de incertidumbre, /_z, se define como sigue:  

1. Si f(x_x) > /(x₂), entonces x_L < x* < x₂. Se definen x_R = x₂ e /, = (x_L, x₂) (véase la figura 21.2[a]).
2. Si f(x_x) < f(x₂\ entonces x_x < x* < x_R. Se definen x_L = x_x e I¡ = (x_h x_R) (véase la figura 21.1 [b]). .
3. Si f{x\) = /(jc₂), entonces x_x < x* < x₂. Se definen x_L = x₂ e /, = (x_b x₂).

  

La manera en que se determinan x_x y x₂ garantiza que /, < /,_ _p como se demostrará en breve. El algoritmo termina en la iteraciónksil_k< A, donde A es un grado de exactitud defi­nido por el usuario.                                                                                                                                                                                        *  

La diferencia entre los métodos dicótomo y de sección dorada estriba en la forma en que se calculan x_x y x₂. La tabla siguiente presenta las fórmulas.  

  

 

En el método dicótomo los valores jc, y x₂ se encuentran simétricos respecto del punto medio del actual intervalo de incertidumbre. Esto significa que 

 

La aplicación repetida del algoritmo garantiza que la longitud del intervalo de incertidumbre se acercará al nivel de exactitud deseado, A. 

En el método de la sección dorada la idea es de mayor involucramiento. Se puede apre­ciar que cada iteración del método dicótomo requiere calcular los dos valores/(jc,) y f(x₂), P^e” ro termina por descartar alguno de ellos. Lo que propone el método de la sección dorada es ahorrar cálculos mediante el reuso del valor descartado en la iteración inmediata siguiente. Para definir 0 < a < 1 

 

Cuando el intervalo de incertidumbre /, en la iteración i es igual a (jc_¿, x₂) o a (x_u x_R). Conside­re el caso en que /, = (jc_l, x₂), lo cual significa que x_x está incluido en /,. En la iteración /+1, seleccione x₂ igual a jc, de la iteración /, lo cual lleva a la siguiente ecuación: 

x₂(iteración i+l) = x_{(iteración i) 

 

 

Comparado con el método dicótomo, el método de la sección dorada converge más rápida­mente hacia el nivel deseado de exactitud. Adicionalmente, cada iteración en el método de la sección dorada requiere la mitad de los cálculos, en virtud de que recicla siempre un conjunto de los cálculos correspondientes a la iteración inmediata anterior. 

EJEMPLO

 

El máximo valor de f(x) ocurre en x = 2. La siguiente tabla muestra los cálculos para las iteraciones 1 y 2, usando el método dicotomo y el de la sección dorada. Supondremos que A = 0.1. 

 

Al continuar de la misma forma, el intervalo de incertidumbre terminará por estrecharse hasta la tolerancia A deseada. 

  

La plantilla ch21DichotomousGoldenSection.xls de Excel está diseñada para manejar cualquiera de estos dos métodos en forma automática. Los datos son/(*), a,b y A. La función f{x) se captura en la celda E3 como sigue: 

= IF(C3< = 2,3*C3, (-C3+20)/3) 

OPTIMIZACIÓN NO RESTRINGIDA

Los problemas de optimización no restringida no tienen restricciones, por lo que la función objetivo es sencillamente

Maximizar f(x)

sobre todos los valores x= (x1, x₂,…,x_n). Según el repaso del apéndice 3, la condición necesa­ria para que una solución específica x = x* sea óptima cuando f(x) es una función diferenciable es

  

Cuando f (x) es cóncava, esta condición también es suficiente, con lo que la obtención de x* se reduce a resolver el sistema de las necuaciones obtenidas al establecer las n derivadas parciales iguales a cero. Por desgracia, cuando se trata de funciones no lineales f (x), estas ecuaciones suelen ser no lineales también, en cuyo caso es poco probable que se pueda obtener una solu­ción analítica simultánea. ¿Qué se puede hacer en ese caso? Las secciones 13.4 y 13.5 descri­ben procedimientos algorítmicos de búsqueda para encontrar x* primero para n = 1 y luego para n > 1. Estos procedimientos también tienen un papel importante en la solución de varios tipos de problemas con restricciones, que se describirán en seguida. La razón es que muchos algo­ritmos para problemas restringidos están construidos de forma que se adaptan a versiones no restringidas del problema en una parte de cada iteración.

Cuando una variable Xj tiene una restricción de no negatividad, x- > 0, la condición ne­cesaria (y tal vez) suficiente anterior cambia ligeramente a

 

para cada j de este tipo. Esta condición se ilustra en la figura 13.11, donde la solución óptima de un problema con una sola variable es x= 0 aun cuando la derivada ahí es negativa y no cero. Como este ejemplo tiene una función cóncava para maximizar sujeta a una restricción de no negatividad, el que su derivada sea menor o igual a 0 en # = 0, es una condición necesaria y su­ficiente para que x= 0 sea óptima.

Un problema que tiene algunas restricciones de no negatividad y que no tiene restriccio­nes funcionales es un caso especial (m = 0) de la siguiente clase de problemas.

OPTIMIZACIÓN LINEALMENTE RESTRINGIDA

Los problemas de optimización linealmente restringida se caracterizan por restricciones que se ajustan por completo a la programación lineal, de manera que todas las funciones de restric­ción g¡ (x) son lineales, pero la función objetivo es no lineal. El problema se simplifica mucho si sólo se tiene que tomar en cuenta una función no lineal junto con una región factible de programación lineal. Se han desarrollado varios algoritmos especiales basados en una exten­sión del método símplex para analizar la función objetivo no lineal.

Un caso especial importante descrito a continuación es la programación cuadrática.

 

PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA

 

De nuevo los problemas de programación cuadrática tienen restricciones lineales, pero ahora la función objetivo /(x) debe ser cuadrática.Entonces, la única diferencia entre éstos y un

 

problema de programación lineal es que algunos términos de la función objetivo incluyen el cuadrado de una variable o el producto de dos variables.

  

PROGRAMACIÓN CONVEXA

La programación convexa abarca una amplia clase de problemas, entre ellos como casos espe­ciales, están todos los tipos anteriores cuando /(x) es cóncava. Las suposiciones son

1. f(x) es cóncava.
2. Cada una de las g(x) es convexa.

PROGRAMACIÓN SEPARABLE

La programación separable es un caso especial de programación convexa, en donde la suposi­ción adicional es

Todas las funciones f(x) y g(x) son funciones separables.

Una función separable es una función en la que cada término incluye una sola variable, por lo que la función se puede separar en una suma de funciones de variables individuales. Por ejem­plo, si  f(x) es una función separable, se puede expresar como

son cada tina funciones de una sola va­riable x1 y x₂, respectivamente. Usando el mismo razonamiento, se puede verificar que la función considerada en la figura 13.7 también es una función separable.

Es importante distinguir estos problemas de otros de programación convexa, pues cual­quier problema de programación separable se puede aproximar muy de cerca mediante uno de programación lineal y, entonces, se puede aplicar el eficiente método símplex.

son cada tina funciones de una sola va­riable x1 y x₂, respectivamente. Usando el mismo razonamiento, se puede verificar que la función considerada en la figura 13.7 también es una función separable.

Es importante distinguir estos problemas de otros de programación convexa, pues cual­quier problema de programación separable se puede aproximar muy de cerca mediante uno de programación lineal y, entonces, se puede aplicar el eficiente método símplex.

PROGRAMACIÓN NO CONVEXA

La programación no convexa incluye todos los problemas de programación no lineal que no sa­tisfacen las suposiciones de programación convexa. En este caso, aun cuando se tenga éxito en encontrar un máximo local, no hay garantía de que sea también un máximo global.Por lo tanto, no se tiene un algoritmo que garantice encontrar una solución óptima para todos estos problemas; pero sí existen algunos algoritmos bastante adecuados para encontrar máximos lo­cales, en especial cuando las formas de las funciones no lineales no se desvían demasiado de aquellas que se supusieron para programación convexa. En la sección 13.10 se presenta uno de estos algoritmos.

Ciertos tipos específicos de problemas de programación no convexa se pueden resolver sin mucha dificultad mediante métodos especiales. Dos de ellos, de gran importancia, se pre­sentarán más adelante.

PROGRAMACIÓN GEOMÉTRICA

Cuando se aplica programación no lineal a problemas de diseño de ingeniería, muchas veces la función objetivo y las funciones de restricción toman la forma

 

En tales casos, las c_i y a _ty representan las constantes físicas y las x_} son las variables de diseño. Estas funciones por lo general no son ni cóncavas ni convexas, por lo que las técnicas de pro­gramación convexa no se pueden aplicar directamente a estos problemas deprogramacióngeo- métrica. Sin embargo, existe un caso importante en el que el problema se puede transformar en un problema de programación convexa equivalente. Este caso es aquel en el que todos los coeficientes c¿ en cada función son estrictamente positivos, es decir, las funciones son polino­mios positivos generalizados (ahora llamados posinomiales), y la función objetivo se tiene que minimizar. El problema equivalente de programación convexa con variables de decisión y_x, y₂,…, y_n se obtiene entonces al establecer

en todo el modelo original. Ahora se puede aplicar un algoritmo de programación convexa. Se ha desarrollado otro procedimiento de solución para resolver estos problemas de progra­mación posinomial, al igual que para problemas de programación geométrica de otros tipos.¹

PROGRAMACIÓN FRACCIONAL

Suponga que la función objetivo se encuentra en la forma de una fracción, esto es, la razón o cociente de dos funciones,

Estos problemas de programación fraccional surgen, por ejemplo, cuando se maximiza la ra­zón de la producción entre las horas-hombre empleadas (productividad), o la ganancia entre el capital invertido (tasa de rendimiento), o el valor esperado dividido entre la desviación es­tándar de alguna medida de desempeño para una cartera de inversiones (rendimiento/ries­go). Se han formulado algunos procedimientos de solución especiales¹ para ciertas formas de f1(x) y f2 (x)

 Cuando se puede hacer, el enfoque más directo para resolver un problema de programa­ción fraccional es transformarlo en un problema equivalente de algún tipo estándar que dis­ponga de un procedimiento eficiente. Para ilustrar esto, suponga que f(x) es de la forma de programación fraccional lineal

 

donde c y d son vectores renglón, x es un vector columna y c₀ y d_Q son escalares. También su­ponga que las funciones de restricción g¡(x) son lineales, es decir, las restricciones en forma matricial son Ax < b y x > 0.

Con algunas suposiciones débiles adicionales, el problema se puede transformar en un problema equivalente de programación lineal si se establece

 

que se puede resolver con el método símplex. En términos generales, se puede usar el mismo tipo de transformación para convertir un problema de programación fraccional con /¡(x) cóncava, f₂ (x) convexa y g¡ (x) convexas, en un problema equivalente de programación con­vexa.